设A，B为锐角，且sin^2 A+sin^2 B=sin(A+B),求证A+B＝90

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/21 04:28:41
百度知道中的一帖不对，希望有人答
一楼的显然错,别抄另一帖的,那是错解

将锐角A，B看作三角形的内角 角C=180-A-B
有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r
于是 sinA=a/r sinB=b/r sinC=c/r sin(A+B) =sinC
代入上式 有 a^2/r^2+ b^2/r^2= c^2/r^2
即 a^2+b^2=c^2
这个三角形即直角三角形 所以A+B＝90

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本来以为只有20分，不想自己动力，看来你是在学习上向来较真的人，下面给出另一证法
sin²A+sin²B=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sinAsinA-sinAcosB=sinBcosA-sinBsinB
sinA(sinA-cosB)=sinB(cosA-sinB)

若A+B>90,则A>90-B
sinA>sin(90-B)=cosB,sinA-cosB>0
cosA<cos(90-B)=sinB,cosA-sinB<0
因为sinA>0,sinB>0,上面的等式显然不能成立
若A+B<90,则A<90-B
sinA<sin(90-B)=cosB,sinA-cosB<0
cosA>cos(90-B)=sinB,cosA-sinB>0
上面的等式也不能成立
故只能是A+B=90, 证毕。